Notação de Newton vs Notação de Leibniz

Isaac Newton, sucessor de Barrow, nasceu na cidade de Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra em 25 de dezembro de 1642, uma coincidência interessante aconteceu nessa data, pois foi nesse mesmo ano que faleceu faleceu Galileu, grande cientista e matemático. Newton fez descobertas fundamentais em óptica, matemática, gravitação, mecânica e dinâmica celeste.
Ele estudou as obras de Galileu, Fermat, Huygens e outros. Era um cientista. No fim de 1664 Newton parece ter atingido as fronteiras do conhecimento matemático e estava pronto para fazer contribuições próprias. Suas primeiras descobertas, datando dos primeiros meses de 1665, resultaram de saber exprimir funções em termos de séries infinitas, a mesma coisa que Gregory estava fazendo pela Itália na mesma época, embora dificilmente Newton pudesse saber disso. Newton também começou a pensar, em 1665, na taxa de variação de fluxo, de quantidades variáveis continuamente, ou fluentes – tais como comprimentos, áreas, volumes, distâncias, temperatura. Então Newton ligou esses dois problemas – das séries infinitas e das taxas de variação – como “meu método”.
Em meados de 1665-1666, o Trinity College foi fechado por causa da peste,e Newton foi para casa para viver e pensar. Foi durante esses meses que Newton fez quatro de suas principais descobertas: 1) teorema Binominal, 2) o cálculo, 3) a lei da gravitação e 4) a natureza das cores. Newton enunciou pela primeira vez seu teorema binominal numa carta de 13 de junho de 1676, enviada a Oldenburg mas destinada a Leibniz.
Com relação a séries infinitas, Newton observou que era possível operar com séries infinitas de modo muito semelhante ao usado para expressões polinomiais finitas. A generosidade dessa nova análise infinita foi então confirmada para ele quando obteve a mesma série infinita por extração da quadrada de 1-x2 pelo processo algébrico usual, verificando finalmente o resultado por multiplicação da série infinita por ela mesma para recuperar o radicando original 1-x2. Assim também Newton verificou que o resultado obtido para (1-x2)-1 por interpolação ( isto é, o teorema binominal para n = -1) concordava com o resultado obtido por divisão. Dessa forma, Newton tinha descoberto algo muito mais importante que o teorema binominal; tinha verificado que a análise por séries infinitas tinha a mesma consistência interior, e estava sujeita às mesma leis gerais,que a álgebra de quantidade finitas. As séries infinitas já não deviam mais ser consideradas apenas como instrumentos de aproximação; eram outras formas das funções que representavam.
Newton publicou várias exposições de sua análise infinita. A primeira foi a De analysi per aequationes, composta em 1669, mas só publicada em 1711. Por conseguinte, outros motivados por Newton, já não tentaram mais evitar processos infinitos, como tinham feito os gregos, pois estes agora eram considerados como matemática legítima. A De analysi de Newton tinha mais conteúdo, é claro, que algum trabalho sobre séries infinitas; é também de grande importância por ser a primeira exposição sistemática da principal descoberta matemática de Newton – o cálculo.
Newton descobriu seu método das séries infinitas e o cálculo em 1665-1666, e durante a década seguinte ele escreveu pelo menos três exposições substanciais da nova análise. O De analysi circulou entre amigos, inclusive Jonh Collins (1625-1683) e Barrow, e a expansão binominal infinita foi enviada a Oldenburg e Leibniz; mas Newton não fez nada para publicar seus resultados, embora soubesse que Gregory e Mercator em 1668 tinham revelado sua obra sobre séries infinitas. A primeira exposição do cálculo que Newton imprimiu apareceu em 1687 em Philosophiae naturalis principia mathematica, o mais admirado tratado cientifico de todos os tempos. Esse livro é geralmente descrito como apresentando os fundamentos da física e da astronomia na linguagem da geometria pura.
Newton mostra que a palavra genitum significa o que chamamos um “termo” e que por momento de um genitum ele entende o acréscimo infinitamente pequeno. Designando por a o momento de A e por b o momento de B. Newton prova que o momento de AB e aB+BA, que o momento de Na é naAn-1 e que o momento de 1/A é a/(a2). Essas expressões sibilinas, que são os equivalentes da diferencial de um produto, de uma potência e de um recíproco, respectivamente, constituem o primeiro pronunciamento oficial de Newton sobre o cálculo, tornando fácil entender por que tão poucos matemáticos da época dominaram a nova análise nos termos da linguagem de Newton.
Newton não foi o primeiro a diferenciar ou integrar, nem a ver a relação entre essas operações no teorema fundamental do cálculo. Sua descoberta consistiu na consolidação desses elementos no algoritmo geral aplicável a todas as funções, sejam algébricas sejam transcedentes.
Gottfried Wilhelm Leibniz, o grande gênio universal do século VII e rival de Newton na invenção do cálculo, nasceu em Leipzig em 1646, aprendeu grego quando criança e aos 12 anos já dominava todo conhecimento corrente de matemática, filosofia, teologia e leis publicado pelos textos da época.
Leibniz inventou o seu cálculo entre 1673 e 1676. Usou pela primeira vez o símbolo de integral, um S alongado, derivado da primeira letra da palavra latina summa (soma) em 29 de outubro de 1675. O objetivo era indicar uma soma de indivisíveis. Algumas semanas depois ele já escrevia diferenciais e derivadas como o fazemos hoje, assim como escrevia ᶴ x dy e ᶴ y dx para integrais. Seu primeiro artigo sobre o cálculo diferencial só apareceu em 1684. Leibniz deduziu muitas regras de diferenciação que os alunos aprendem logo no início do curso de cálculo. A fórmula da derivada enésima do produto de duas funções é conhecida em geral como regra de Leibniz.
Leibniz tinha uma sensibilidade muito grande para a forma matemática e discernia com clareza as potencialidades de um simbolismo bem engendrado. Sua notação para o cálculo mostrou-se muito feliz e, inquestionavelmente, é mais conveniente e flexível do que a de Newton. Os matemáticos ingleses, porém, apegaram-se à notação de seu líder. Só em 1812, com a criação em Cambridge da Analytical Society, que defendia o d-ismo puro em contraposição à notação pontual adotada na universidade, essa situação começou a se reverter. Convém lembrar que o deismo, sistema filosófico racionalista, estava em voga entre a intelectualidade da época.
Comumente atribui-se a Leibniz, em 1693, a criação da teoria dos determinantes, visando o estudo de sistemas de equações lineares, embora considerações semelhantes já tivessem sido feitos dez anos antes no Japão por Seki Kowa. Também se deve a Leibniz a generalização do teorema binomial para o teorema multinomial, consistindo em fazer a expansão de
(a+b+⋯+n)^r
Ele também contribuiu muito para lançar os fundamentos da teoria da envoltórias e definiu círculo osculador, mostrando sua importância no estudo das curvas.
HOUVE DESARMONIA ENTRE NEWTON E LEIBNIZ?
Segundo o autor do livro História da matemática, Carl Boyer. Na primeira edição dos Principia, Newton reconheceu que Leibniz estava de posse de um método semelhante, mas na terceira edição em 1726, após a amarga disputa entre aderentes dos dois homens quanto a independência e prioridade da descoberta do cálculo, Newton omitiu as referências ao cálculo de Leibniz. Sendo assim fica bastante evidente que a descoberta de Newton antedata a de Leibniz de cerca de dez anos, mas a descoberta de Leibniz foi independente da de Newton. Além disso, Leibniz tem prioridade de publicação, pois imprimiu uma exposição de seu cálculo em 1684 na Acta Eruditorum , espécie de periódico cientifico mensal que fora fundado só dois anos antes.
E segundo o autor do livro Introdução a História da Matemática, Howard Eves, além de tratrar a discursão sobre a polêmica Newton-Leibniz como sendo infeliz, também afirma que a opinião generalizada hoje é que ambos criaram o cálculo independentemente e que a descoberta de Newton foi realmente anterior, mas corrobora com Boyer, afirmando que Leibniz foi o primeiro a publicar seus resultados. Se Leibniz não era tão profundo em Matemática quanto Newton, era talvez mais eclético, e embora inferior ao seu rival inglês como analista e físico-matemático, era provavelmente dotado de uma imaginação mais aguda e um sentido superior quanto á forma matemática. A controvérsia que irrompeu por maquinações de outras partes, levou os britânicos a negligenciar por muito tempo os progressos da matemática no Continente em prejuízo de sua própria matemática.

“Tomando a matemática desde o início do mundo até o tempo de Newton, o que ele fez é de longe a melhor metade”. Leibniz


Referências:
Boyer, Calr B.
História da matemática/ Calr B. Boyer;revista pot Uta C. Merzbach; tradução Elza F. Gomide. – 2.ed. – São Paulo: Edgard Blucher,2003.
Eves, Howard
Introdução à história da matemática/Howard Eves;tradução:hygino
H. Domingues. – Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004